VIZUALIZACIJA FORMULE ZA POVRŠINU KRUGA – preslagivanje u trokut

Krajem 11. i početkom 12. stoljeća, židovski znanstvenik Rabbi Abraham bar Hiyya Hanasi došao je na sljedeću ideju određivanja površine kruga. Unutrašnjost kruga opisao je kao uniju manjih kružnica koje je moguće odmotati i presložiti u jednakokračni trokut. Osnovica tog trokuta jednaka je opsegu kružnice koja omeđuje početni krug, a visina na osnovicu jednaka je radijusu kruga. Koristeći formulu za površinu trokuta jednostavno je došao i do formule za površinu kruga. 

Kratki video s vizualizacijom pogledajte na sljedećoj poveznici.

VIZUALIZACIJA FORMULE ZA POVRŠINU KRUGA – preslagivanje kružnih isječaka

Smatra se da ova ideja za vizualizaciju formule za površinu kruga potiče od Leonarda da Vincija (16.st.). Glavna ideja je razrezati krug na sukladne kružne isječke te ih presložiti na način prikazan na slikama.  Najprije krug izrežemo (pa presložimo) na četiri sukladna dijela pa  na  osam, pa na dvanaest, pa na  šesnaest, pa na  osamnaest….   

Uočimo  da  je  ukupna  duljina  valovitih  linija uvijek jednaka opsegu polaznog kruga 2rπ , dok je duljina svake ravne linije jednaka r .  Nakon  preslagivanja  dobivamo  lik  koji  nalikuje  paralelogramu  čije  su  susjedne stranice duljine rπ  (poluopseg) i r  (radijus).. Važno je uočiti kako krug i presloženi lik imaju istu površinu jer nismo ništa dodali niti oduzeli, već samo presložili.  Zamislimo  sada  da  opisani  postupak  dijeljenja  i  preslagivanja  nastavimo  u  beskonačnost. Donje i gornje valovite linije bit će sve ravnije, a kutovi u paralelogramu će biti sve bliže pravom kutu pa ćemo iz paralelograma dobivenog preslagivanjem kružnih isječaka dobiti pravokutnik sa stranicama duljina r i rπ čiju površinu znamo odrediti:
P=𝑟^2 𝜋.

VIZUAIZACIJA FORMULE ZA POVRŠINU TROKUTA – preslagivanje karakterističnih trokuta mnogokuta

Na gore spomenutoj vizualizaciji formule za površinu kruga koje se dosjetio Leonardo da Vinci počiva i ideja o preslagivanju karakterističnih trokuta mnogokuta. Ideja počiva na činjenici da se svakom pravilnom mnogokutu možemo opisati kružnicu. Što više stranica taj pravilni mnogokut ima, to se njegova površina više poklapa s površinom kružnice. Kada bi promatrali mnogokut koji ima beskonačno mnogo stranica tada bi njegova površina bila jednaka površini njemu opisanog kruga. Ako mnogokut podijelimo na karakteristične trokute, odnosno kružnicu na odgovarajuće kružne isječke te dobivene dijelove presložimo tako da krakovi karakterističnih trokuta (radijusi kružnih isječaka) dodiruju na način prikazan u videu vidimo da obje polovice mnogokuta tvore paralelogram. Obzirom da je mnogokut naoko površinom preklopio krug možemo zamisliti da su površine mnogokuta i kruga toliko približno jednake da im je razlika zanemariva. Dobivenom paralelogramu je visina približno jednaka duljini polumjera, a stranica je približno jednaka poluopsegu opisane kružnice. Obzirom da je površina paralelograma za mnogokut s beskonačno mnogo stranica jednaka površini opisanog kruga, primjenom formule za površinu paralelograma dobivamo da je površina kruga P=𝑟^2 𝜋.

Kratki video s vizualizacijom pogledajte na sljedećoj poveznici.